Questão 8093

UNIFESP 2009

Matemática

(Unifesp 2009) Uma urna contém todas as cartelas, do tipo da figura I, totalmente preenchidas com os algarismos 1, 2, 3 e 4, de forma que cada linha (horizontal) contempla todos os quatro algarismos.

A probabilidade de se retirar dessa urna, aleatoriamente, uma cartela contemplando a configuração da figura II, com a exigência adicional de que cada coluna (vertical) e cada um dos subquadrados destacados contenham todos os algarismos (1, 2, 3 e 4) é:

A

B

C

D

E

Gabarito:

Resolução:

1) Primeiro devemos calcular o total de possibilidades de completar a figura I.

2) Temos que a única regra inicial é que cada linha (horizontal) contempla todos os quatro algarismos.

3) Com isso, para cada linha há $4 cdot 3 cdot 2 cdot 1 = 4!$ possibilidades.

4) Com isso, haverão $4! cdot 4! cdot 4! cdot 4!$ possibilidades de completar segundo o princípio fundamental da contagem.

5) Agora vamos analisar o evento em que estamos interessados em relação a essas possibilidades.

6) Primeiro vamos olhar os locais fixos segundos as exigências adicionais.

7) Com isso, haverão 2 possibilidades:

8) Com isso, a probabilidade será:

$frac{2}{4! cdot 4! cdot 4! cdot 4!} = frac{1}{12 cdot 4! cdot 4! cdot 4!}$

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