Questão 8288

UNIFESP 2006

Matemática

(Unifesp 2006) A parábola y = x² - nx + 2 tem vértice no ponto (x_n, y_n). O lugar geométrico dos vértices da parábola, quando n varia no conjunto dos números reais, é

uma parábola.

uma elipse.

um ramo de uma hipérbole.

uma reta.

duas retas concorrentes.

Gabarito:

uma parábola.

Resolução:

Vamos usar as fórmulas para calcular xn e yn:

$x_{n}=frac{-b}{2a}$

$x_{n}=frac{n}{2}$

$y_{n}=frac{-Delta}{4a}$

$y_{n}=frac{-(n^{2}-8)}{4}$

$y_{n}=frac{8-n^{2}}{4}$

Isolando n na expressão de x_n temos:

$n=2x_{n}$ (I)

Isolando n² na expressão de y_n vem:

$n^{2}=8-4y_{n}$ (II)

Elevando n ao quadrado na primeira expressão, vem:

$n^{2}=4x^{2}_{n}$ (III)

Igualando (II) e (III) vem:

$4x^{2}_{n}=8-4y_{n}$

$x^{2}_{n}=2-y_{n}$

$y_{n}=2-x^{2}_{n}$

Isso caracteriza uma parábola.

Questão 8288

UNIFESP 2006

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