Questão 16

UNICAMP 2017

Matemática

(UNICAMP - 2017 - 2ª FASE) Sabendo que 𝑎 e 𝑏 são números reais, considere o polinômio cúbico 𝑝(𝑥) = 𝑥³ + 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 1.

a) Mostre que, se 𝑟 é uma raiz de 𝑝(𝑥), então 1/𝑟 é uma raiz do polinômio 𝑞(𝑥) = 𝑥³ + 𝑏𝑥² + 𝑎𝑥 + 1.

b) Determine os valores de 𝑎 e 𝑏 para os quais a sequência (𝑝(−1), 𝑝(0), 𝑝(1)) é uma progressão aritmética (PA), cuja razão é igual a 𝑝(2).

Gabarito:

Resolução:

a) Se satifaz o polinômio, então p(r)=0

Eq.1. $r^{3}+ar^{2}+br+1=0$

Considerando a equação acima como verdadeira, partimos agora para a função q(x), façamos x=1/r:

$q(frac{1}{r})=(frac{1}{r})^{3}+b(frac{1}{r})^{2}+a(frac{1}{r})+1$

$q(frac{1}{r})=frac{1}{r^{3}}+bfrac{1}{r^{2}}+afrac{1}{r}+1$

tirando o mmc:

$q(frac{1}{r})=frac{1+br+ar^{2}+r^{3}}{r^{3}}$

percebam que podemos substituir a Eq. 1. nesta equação, validando então que 1/r é sim raíz de q(x)

$q(frac{1}{r})=frac{0}{r^{3}}=0$

b)Substituindo x pelos valores de -1, 0, 1 e 2 obtemos:

$p(-1)=a-b$

$p(0)=1$

$p(1)=a+b+2$

$p(2)=4a+2b+9$

tendo esses resultados nós montamos a nossa P.A.:

$(a-b, 1, a+b+2)$ com razão $p(2)=4a+2b+9$

Para que determinemos o valor de a e b vamos pegar os termos da P.A. e somal-los com sua razão, essa soma deve ser igualada com o proxímo termo da P.A.:

$egin{cases} termo; 1; da; PA;+;razao& = termo; 2; da; PA\ termo; 2; da; PA;+;razao& = termo; 3; da; PA end{cases}$

$egin{cases} (a-b)+(4a+2b+9)& = 1\ (1)+(4a+2b+9)&=a+b+2 end{cases}$

$egin{cases} &5a+b=-8 \ & 3a+b=-8 end{cases}$

isolando b na primeira equação e subtituindo na segunda:

$b=-8-5a$

$3a+(-8-5a)=-8$

$a=0$

substituindo a em qualquer uma das esquações do sistema:

$b=-8$

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