Questão 15
UNICAMP 2017
(UNICAMP - 2017 - 2ª FASE) A figura abaixo exibe três círculos no plano, tangentes dois a dois, com centros em 𝐴, 𝐵 e 𝐶 e raios de comprimentos 𝑎, 𝑏 e 𝑐, respectivamente.
a) Determine os valores de 𝑎, 𝑏 e 𝑐, sabendo que a distância entre 𝐴 e 𝐵 é de 5 𝑐𝑚, a distância entre 𝐴 e 𝐶 é de 6 𝑐𝑚 e a distância entre 𝐵 e 𝐶 é de 9 𝑐𝑚.
b) Para 𝑎 = 2 𝑐𝑚 e 𝑏 = 3 𝑐𝑚, determine o valor de 𝑐 > 𝑏 de modo que o triângulo de vértices em 𝐴, 𝐵 e 𝐶 seja retângulo.
Gabarito:
Resolução:
a)
Destas medidas retiramos o seguinte sistema:
múltiplicando a segunda equação por -1 e somando a primeira obtemos:
juntando esse resultado com a equação três do primeiro sistema:
somando obtemos:
cm
utilizando esse resultado na terceira equação do primeiro sistema obtemos o valor de c depois substituimos o valor de c na primeira equação e achamos a
cm
cm
b) Considerando a=2 e b=3 concluímos que o lado é o maior lado então para que o triângulo seja retângulo o teorema de pitágoras tem que ser verdadeiro para esse triângulo de forma que o maior lado, o lado
, seja a hipotenusa:
cm