Questão 24

UNICAMP 2013

Matemática

(UNICAMP - 2013 - 2 fase - Questão 24)

Um satélite orbita a 6.400 km da superfície da terra. A figura abaixo representa uma secção plana que inclui o satélite, o centro da terra e o arco de circunferência AB. Nos pontos desse arco o sinal do satélite pode ser captado. Responda às questões abaixo, considerando que o raio da terra também mede 6,400 km.

a) Qual o comprimento do arco AB indicado na figura?

b) Suponha que o ponto C da figura seja tal que $cos ( heta) = frac{3}{4}$ . Determine a distância d entre o ponto C e o satélite.

Gabarito:

Resolução:

$A)$ O comprimento do arco é dado pela expressão:

$L = Rcdot widehat{AOB}$

Analisando apenas o lado esquerdo do sistema, ou seja, o $Delta SOB$ , temos que :

$cosleft ( frac{widehat{AOB}}{2} ight ) = frac{6400}{6400+6400}$

$cosleft ( frac{widehat{AOB}}{2} ight ) = frac{1}{2} ightarrow frac{widehat{AOB}}{2} = frac{pi}{3}$

$widehat{AOB} = frac{2pi}{3}$

$L = 6400cdot frac{2pi}{3} = frac{12800pi}{3} Km$

$B)$ $cos( heta) =frac{3}{4} ightarrow sen( heta) =frac{sqrt7}{4}$

$cos( heta) = frac{h_c}{R} =frac{3}{4}$

$h_c = 4800$

e $sen( heta) =frac{sqrt7}{4} = frac{b_c}{6400}$

$b_c=1600sqrt7$ , onde $b_c$ é a distancia de $C$ ao reta que une o satelite ao centro da terra.

Com isso a distancia de $C$ ao satelite fica igual a:

$d = sqrt{(2cdot6400-4800)^2+7cdot1600^2}$

$d = sqrt{(8-3)^21600^2+7cdot1600^2}$

$d = 1600sqrt{25+7} = 1600sqrt{32}$

$d = 6400sqrt{2}$

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