Questão 23

UNICAMP 2013

Matemática

(UNICAMP - 2013 - 2 fase - Questão 23)

Um recipiente cúbico de aresta a e sem tampa, apoiado em um plano horizontal, contém água até a altura $frac{3}{4}a$ . Inclina-se lentamente o cubo, girando-o em um ângulo $heta$ em torno de uma das arestas da base, como está representado na figura abaixo.

a) Supondo que o giro é interrompido exatamente antes de a água começar a derramar, determine a tangente do ângulo $heta$ .

b) Considerando, agora, a inclinação tal que $tan( heta) = frac{1}{4}$ , com $0< heta<frac{pi}{2}$ , calcule o valor numérico da expressão $cos(2 heta) - sen(2 heta)$ .

Gabarito:

Resolução:

$A)$ Como a superficie da agua se mantém horinontal, temos que o angulo formado entre o liquido e a face aberta também é igual a $heta$ e o volume do liquido em vermelho representado abaixo é igual ao espaço vazio.

Com isso temos que a altura em relação a face vazia é igual a $acdot tg( heta)$ e o volume é igual a $frac{a^2 h}{2}$

Portanto, temos que :

$frac{a^3 cdot tg heta}{2} = frac{a^3}{4} ightarrow heta = arctg left ( frac{1}{2} ight )$

$B)$ Utilizando como base o seguinte triangulo retangulo:

Podemos obter que valor de $sen heta = frac{1}{sqrt{1^2+4^2}}=frac{sqrt17}{17}$ e $cos heta = frac{4}{sqrt{1^2+4^2}}=frac{4sqrt17}{17}$

Com isso temos que a expressão dada pode ser calculada da seguinte forma:

$cos(2 heta) - sen(2 heta) = cos^2 heta - sen^2 heta - 2sen hetacdot cos heta$

$cos(2 heta) - sen(2 heta) = frac{16}{17}- frac{1}{17} - frac{8}{17}$

$cos(2 heta) - sen(2 heta) = frac{7}{17}$

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