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Questão 48

UNICAMP 2013
Matemática

(UNICAMP - 2013) Chamamos de unidade imaginária e denotamos por i  o número complexo tal que .

Então  vale

A

0

B

1

C

i

D

1+i

Gabarito:

1+i



Resolução:

Pegando a equação inicial e a agrupando em grupos de 4 potencias em sequencia e colocando left ( i^0 + i^1 + i^2+i^3 ight ) em evidencia, podemos reescreve-la da seguinte forma:

     i^0 + i^1 + i^2cdots+ i^{2013} = left ( i^0 + i^1 + i^2+i^3 ight )left ( 1+i^4+cdots i^{2007} ight ) + i^{2012} + i^{2013}

Contudo, temos que left ( i^0 + i^1 + i^2+i^3 ight ) = 1 + i -1 -i = 0, portanto:

     i^0 + i^1 + i^2cdots+ i^{2013} = i^{2012} + i^{2013}

     i^0 + i^1 + i^2cdots+ i^{2013} = i^{4cdot503}cdotleft ( 1+i ight )

     i^0 + i^1 + i^2cdots+ i^{2013} = 1^{503}cdotleft ( 1+i ight )

     i^0 + i^1 + i^2cdots+ i^{2013} = 1+i

Portanto, a alternativa correta é a LETRA D.

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