Questão 42

UNICAMP 2013

Matemática

(UNICAMP - 2013 - 1 FASE) Na figura abaixo, ABC e BDE são triângulos isósceles semelhantes de bases 2a e a, respectivamente, e o ângulo . Portanto, o comprimento do segmento CE é:

Gabarito:

Resolução:

Como os triângulos são isósceles e semelhantes, podemos determinar seus ângulos que medem 30°, assim como a razão de semelhança entre eles e descobrir que o seu ângulo restante mede 180 - 30 - 30 = 120°, como na figura:

Assim, por lei dos Senos:

$frac{2x}{sen(30)}=frac{2a}{sen(120)}$

$sen(120) cdot 2x = sen (30) cdot 2a$

Utilizando conhecimentos do ciclo trigonométrico, sabemos que $sen(30)= frac{1}{2}$ e $sen(120)=sen(60)= frac{sqrt{3}}{2}$

$frac{sqrt{3}}{2} cdot 2x = frac{1}{2} cdot 2a$

$sqrt{3}x = a$

$x=frac{a}{sqrt{3}}= frac{asqrt{3}}{3}$

Assim, podemos descobrir CE através da lei dos cossenos:

$CE^2 = CB^2 + BE^2 - 2 cdot CB cdot BE cdot cos(120)$

$CE^2 = (2x)^2 + x^2 - 2 cdot 2x cdot x cdot (-frac{1}{2})$

$CE^2 = (2 cdot frac{asqrt{3}}{3})^2 + (frac{asqrt{3}}{3})^2 - 2 cdot 2frac{asqrt{3}}{3} cdot frac{asqrt{3}}{3} cdot (-frac{1}{2})$

$CE^2 = frac{4a^2}{3}+frac{a^2}{3} + frac{2a^2}{3}$

$CE^2 = frac{7a^2}{3}$

$CE = afrac{sqrt{7}}{sqrt{3}}$

Alternativa C.

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