Questão 89

UNESP 2023

Matemática

(UNESP - 1ª FASE)

De um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 20 cm por $6 sqrt{2}$ cm por $6 sqrt{2}$ cm serão retirados dois cubos, cujos lados medem x cm. Esses cubos têm três arestas contidas em três arestas do paralelepípedo e uma das faces contida em uma mesma face quadrada do paralelepípedo.

Ao adotar o valor máximo para x, o volume do prisma remanescente, após a retirada dos cubos, será igual a:

$36(40-3sqrt{2}) cm^{3}$

$108(10-sqrt{2}) cm^{3}$

$30(9-sqrt{3}) cm^{3}$

$36(10-3sqrt{2}) cm^{3}$

$30(10-3sqrt{2}) cm^{3}$

Gabarito:

$36(40-3sqrt{2}) cm^{3}$

Resolução:

Montando a equação do volume do paralelepípedo:

$V = 20 cdot 6sqrt{2} cdot 6sqrt{2} - 2x^3$

$V = 1440- 2x^3$

Podemos perceber que a aresta dos cubos será máxima quando for a metade da aresta menor do paralelepípedo, manipulando:

$V = 1440- 2(3sqrt{2})^3$

$V = 1440- 2cdot 27 cdot 2sqrt{2}$

$V = 1440- 108sqrt{2}$

$V = 36(40- 3sqrt{2}) ext{cm}^3$

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