Questão 24

UNESP 2013

Matemática

(UNESP - 2013 - 2a fase - Questão 24)

Sabendo-se que cos (2x) = cos²x – sen²x, para quais valores de x a função $mathrm{f(x) = cos , x + frac{1}{2}cdot cos(2x)}$ assume seu valor mínimo no intervalo $mathrm{0leq xleq 2pi}$ ?

Gabarito:

Resolução:

Observe que: $cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)=cos^2(x)-(1-cos^2(x))=2cos^2(x)-1$

Então: $f(x)=cos(x)+frac{cos(2x)}{2} ightarrow f(x)=cos(x)+frac{1}{2}cdot(2cos^2(x)-1)$

$ightarrow f(x)=cos(x)+cos^2(x)-frac{1}{2} ightarrow f(x)=cos^2(x)+cos(x)-frac{1}{2}$

O valor mínimo da função ocorre no seu vértice, se este vértice pertencer ao domínio da função ( $0<x<2pi$ ). Vamos verificar se isso ocorre:

$cos(x_v)=-frac{b}{2a} ightarrow cos(x_v)=-frac{1}{2} herefore x_v=frac{2pi}{3},,,,,,,ou,,,,,,,x_v=frac{4pi}{3}$

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