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Questão 6482

UNESP 1994
Matemática

(UNESP - 1994) O gráfico da função quadrática definida por y = x2 - mx + (m - 1), onde m ∈ R, tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Então, o valor de y que essa função associa a x = 2 é:

A
-2
B
-1
C
0
D
1
E
2

Gabarito: 1

Resolução:

Conforme as informações dadas no enunciado, o gráfico da nossa função toca em apenas um ponto o eixo das abcissas, ou seja, como o gráfico da nossa função é uma parábola, esse ponto será o vértice. Utilizando algumas propriedades do vértice, podemos calculá-lo, sendo ele:

x_v = frac{m}{2}

 

Portanto, conhecemos o ponto P = left (frac{m}{2}, 0 ight ) que é o vértice da nossa parábola. Substituindo na função, temos:

y = x^2 - mx + (m-1)

0 = left ( frac{m}{2} ight )^2 - m left ( frac{m}{2} ight ) + (m-1)

0 = frac{m^2}{4} - frac{m^2}{2} + m-1

0 = - frac{m^2}{4} + m-1

m^2 - 4m +4 = 0

(m-2)(m-2) = 0

Logo, possui única solução m = 2.

 

Substituindo m = 2 e x = 2, teremos:

y = x^2 - mx + (m-1)

y = 2^2 - 2cdot2 + (2-1)

y = 4- 4 + 1

y = 1

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