Questão 35215
UNB 2013
Com relação ao sistema de equações a seguir, julgue os itens em verdadeiro (V) ou falso (F):
- Para k = -1 e a não nulo, o sistema tem uma única solução.
- Para k nulo, o sistema não tem solução.
- Para k = 1, a = 3, b = 2 e c = 1, se (x, y, z) é uma solução do sistema, então x + y + z = -4.
- Para k = -1 e a = b = c = 0 o sistema tem infinitas soluções.
F - F - F - V
F - V - F - V
F - F - V - V
V - F - V - V
V - F - V - F
Gabarito:
F - F - V - V
Resolução:
Se esse determinante for nulo o sistema pode ser indeterminado ou ser impossível.
2k + 3 -3 + 2 = 0, então o sistema será indeterminado ou impossível se k = -1, e será possível e determinado se k for diferente de -1.
Para a alternativa 1:
k=-1, então não pode haver única solução independente dos valores de a, b e c, logo a alternativa está incorreta.
Para a alternativa 2:
k é diferente de -1, logo o sistema possui uma única solução. Alternativa incorreta.
Para a alternativa 3:
k =1, então o sistema é possível e determinado.
Somando as duas primeiras linas do sistema temos:
2x = a +b, logo x = (a + b)/2 = 5/2
Somando a segunda linha com a terceira:
3x + 2y = 3
15/2 + 2y = 3
2y = 3 -15/2 = -9/4
Substituindo na segunda equação -9/4 -z = 2 --> z = -17/4
x+y+z = 5/2 -9/4 -17/4 = -16/4 = -4. Afirmativa correta.
Para a alternativa 4:
Se a = b = c =0.
O sistema pode ser representado como
2x -y +z = 0
0x +y -z = 0
3x +y -z =0.
Somando a primeira com a terceira linha
5x = 0 logo x=0.
Da segunda linha temos y = z.
Então as soluções possíveis são (0,k,k)
Em que k pode ser qualquer real, logo temos infinitas soluções.