Questão 12472

UFTM 2012

Matemática

(Uftm 2012) Os pontos P e Q estão na parábola dada por y = 4x² + 7x − 1, e a origem do sistema de coordenadas cartesianas está no ponto médio de PQ. Sendo assim, P e Q são pontos que estão na reta

Gabarito:

Resolução:

Se a origem do sistema está no ponto médio de PQ, temos que:

Sendo P = (x_p; y_p) e Q = (x_q; y_q), temos que:

(x_p + x_q)/2 = 0, então x_p = -x_q = a

(y_p + y_q)/2 = 0, então y_p = -y_q = b

Logo, temos que P = (a; b) e Q = (-a; -b).

Como P e Q pertencem à parábola, temos que:

b = 4a² + 7a − 1 (I)

-b = 4a² - 7a − 1 (II)

Somando (I) e (II), temos que:

8a² = 2, então

a = 1/2

a = -1/2

Substituindo a = 1/2 e a = -1/2 na equação da parábola, temos para a = 1/2, então b = 7/2 e para a = -1/2, então b = -7/2.

Logo, podemos dizer que P = (1/2; 7/2) e Q = (-1/2; -7/2)

Agora podemos calcular o coeficiente angular m da reta r suporte de PQ:

m = (7/2 - (-7/2))/(1/2 - (-1/2)) = 7

Assim, usando o ponto P, temos que a reta é dada por:

r: y - 7/2 = 7*(x - 1/2), então

y = 7x