Questão 8052

Matemática

(Ufsm 2014) A função

f(t) = $frac{1}{4}$ t3 – 4t2 + 17t – 20

representa o lucro de uma empresa de produtos eletrônicos (em milhões de reais), no tempo t (em anos).

Se t1, t2 e t3, com t1 < t2 < t3, correspondem aos anos em que o lucro da empresa é zero, então t3 – t2 – t1, é igual a

10.

Gabarito:

Resolução:

Como o lucro é zero (f(t) = 0), temos a equação polinomial

$frac{1}{4}cdot t^3-4cdot t^2+17t-20=0$

Se a equação tiver raízes racionais, elas serão inteiras e divisores de –80 (termo independente).

Substituindo na equação 2, que é divisor de –80, obtemos:

f(2) = 2³ – 16.2² + 68.2 – 80 = 8 – 64 + 136 – 80 = 0. Assim, 2 é raiz da equação:

Agora podemos baixar o grau da equação, usando Briot- Ruffini.

A equação rebaixada é x² – 14x + 40 = 0. Aplicando Bháskara, obtemos 4 e 10 como raízes.

Logo, o conjunto solução do polinômio é {2, 4, 10}.

Como t₁ < t₂ < t₃, temos t₁ = 2, t₂ = 4 e t₃ = 10.Queremos saber t₃ – t₂ – t₁. Assim:

10 – 4 – 2 = 4.

Alternativa correta é a letra c.