Questão 54823

Gabarito:

6

Resolução:

Temos aqui que quem está em PG são as alturas dos triângulos equiláteros. Mas sabemos também que, para o lado de um triângulo equilátero, a altura é dada por:

o que implica em . Porém, como o perímetro dos triângulos equiláteros são todos iguais a , então temos que o perímetro de cada triângulo é igual a .

Assim, como h está em PG, acaba que o perímetro, que é , também está em PG.

Para o primeiro triângulo temos que o perímetro é 3, então:

Como a altura do segundo triângulo é metade da altura do primeiro triângulo, podemos afirmar então que a razão dessa PG das alturas é igual a 1/2:

, , ...

Logo, os perímetros estão na PG de razão 1/2, também, isto porque nós podemos fazer:

, onde é o perímetro do segundo triângulo. Mas quem é ? Ora, é o perímetro do primeiro triângulo, certo? Pela equação acima (só colocar o índice 1 abaixo dos termos). Então, pela equação acima , temos que o perímetro do segundo triângulo é um meio do perímetro do primeiro triângulo e assim vai se continuarmos com este raciocínio para os outros triângulos desta sequência.

 

Então a PG dos perímetros dos triângulos é uma PG de termo inicial igual a 3 e razão igual a 1/2, então, fazendo a soma dos infinitos termos dessa PG obtemos:

.

Logo, a resposta correta é a Letra E.