Questão 7798

UFPA 1985

Matemática

(UFPA - 1985) Uma pirâmide quadrangular regular tem todas as arestas iguais. Se a diagonal da base mede 3 cm, então o volume mede, em unidades cúbicas:

A

$frac{9}{8}$

B

$frac{9}{4}$

C

D

E

$frac{27}{4}$

Gabarito:

$frac{9}{4}$

Resolução:

O enunciado diz que a base da pirâmide é um quadrado e que todas as arestas da pirâmide têm mesma medida. Ou seja, se L é a medida do lado do quadrado, então as demais arestas (todas elas) também medem L.

$\ extrm{A;diagonal;de;um;quadrado;mede;L}sqrt{2}; extrm{cm:}\\Lsqrt{2}=3;;;;;Rightarrow L=frac{3sqrt{2}}{2};cm$

$\ extrm{o;volume;}acute{e}; extrm{dado;por:}\\frac{1}{3}cdot L^2cdot H$

Podemos usar Pitágoras:

$\m=frac{L}{2}\\m= extrm{altura;do;triangulo;equilatero;cujo;lado;mede;L}\\ herefore m=frac{Lsqrt{3}}{2};;;;; extrm{(vale;a;pena;decorar)}$

Aplicando Pitágoras:

$\m^2=m^2+H^2\\frac{3L^2}{4}-frac{L^2}{4}=H^2\\\H=frac{Lsqrt{2}}{2}$

$\ extrm{mas;L;=;}frac{3sqrt{2}}{2}\\ herefore H=frac{3sqrt{2}}{2}cdot frac{sqrt{2}}{2}=frac{3}{2}$

Volume é:

$V=frac{9}{4}$

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