Questão 33504

UFOP 2003

Matemática

(UFOP - 2003) Na figura abaixo, ABCD é um trapézio isósceles e EFGH é um retângulo.Sabendo que a altura do trapézio ABCD é igual a 1, AB = a e DC = b, determine a área máxima que o retângulo EFGH pode assumir.

$frac{b^2}{4left(b-a ight )}$

$frac{b^2}{4left(b+a ight )}$

$frac{a^2}{4left(b-a ight )}$

$frac{a^2}{4left(b+a ight )}$

$frac{b^2cdotsqrt{2}}{4left(b-a ight )}$

Gabarito:

$frac{b^2}{4left(b-a ight )}$

Resolução:

Temos o desenho:

Descendo duas retas perpendiculares à DC passando por A e B, temos:

Como EF é paralela à DC, temos que os triângulos ADP e AEP' são semelhantes, assim como os triângulos BCQ e BFQ' são semelhantes.

Sendo assim, chamando de h a altura do retângulo, temos as razões de semelhanças dos triângulos:

1) AP/DP = AP'/EP', então

1/x = (1-h)/EP', então

EP' = (1-h)*x

2) BQ/QC = BQ'/FQ', então

1/y = (1-h)/FQ', então

FQ' = (1-h)*y

Desse modo, o comprimento EF do retângulo é dado por:

EF = EP' + P'Q' + FQ' = (1-h)*x + (1-h)*y + a = (1-h)*(x+y) + a (I)

Sabemos ainda que DC = b, logo, temos que DC = DP + PQ + QC = x + a + y = b, então x + y = b - a (II)

Com (II) em (I), temos que EF = (1-h)*(b - a) + a

Por fim, temos a área do retângulo S(h) em função da altura:

S(h) = h*((1-h)*(b - a) + a) = h²(a - b) + h*b

Para que S(h) seja máxima, temos:

S(h)_máx = -Δ/4*(a-b) = -(b²)/4(a-b) = b²/4(b-a)