Questão 69356

UFMS 2018

Matemática

(UFMS - 2018) Em geometria existem muitas simetrias, estudos dos ângulos internos e externos de uma figura. Nesse sentido, um aluno de Matemática desenhou um pentágono regular e, a partir dos seus vértices, traçou todas as diagonais. Assim, verificou a formação de uma estrela de cinco pontas, conforme a figura a seguir:

Ao somar os ângulos internos das pontas da estrela, o valor encontrado foi de:

A

1.440°.

B

540°.

C

180°.

D

108°.

E

36°.

Gabarito:

180°.

Resolução:

A soma dos ângulos internos de um polígono regular é dada por:

$S_{i} = (n-2) cdot 180 ^{circ}$

Portanto, como temos 5 lados:

$S_{i} = (5-2) cdot 180 ^{circ} = 540^{circ}$

Agora, dividimos a soma dos ângulos pelo número de ângulos para saber quanto vale cada ângulo interno:

$a_{i} = frac{540}{5} = 108 ^{circ}$

Analisando o triângulo BDC podemos escrever que:

$2alpha + 108 = 180$

$alpha = 36^{circ}$

Voltando para o vértice B:

Podemos equacionar que:

$2alpha +x = 108$

$2 cdot 36 +x = 108$

$x = 108 - 72 = 36 ^{circ}$

Como queremos a soma do ângulo x de todas as estrelas:

$S_{5} = 5 cdot x = 5 cdot 36 = 180^{circ}$