Questão 10818

Matemática

(UFMG 1998) Observe a reta numérica.

Nessa reta, o segmento AB está dividido em cinco partes iguais. As coordenadas de A e B são a e b, respectivamente.

Define-se a média ponderada dos números a e b com pesos m e n, respectivamente, por .

Para localizar o ponto da reta numérica cuja coordenada é , pode-se usar a equivalência

O ponto da reta numérica de coordenada é

Gabarito:

Resolução:

Resolução 1:

Trata-se de uma forma de encontrar a coordenada de pontos nesse eixo utilizando a média ponderada.

Veja:

Sendo " 0A = a " e supondo os comprimentos "AP = PQ = QR = RS = SB = L" podemos dizer que:

5L = (b-a) ---> L = (b-a)/5 (Guardemos isso)

A posição de um ponto qualquer pode ser dada por:

Ponto = (ma + nb)/(m+n) ou

Ponto = a + (n/n+m)(b-a) (Utilizaremos essa devido a presença da subtração 'b-a')

Logo Ponto = a + (n/n+m)(b-a)

Fazendo o ponto (2a + 3b)/5 (m=2 , n=3)

Ponto = a + (3/5)(b-a)

Substituindo L = (b-a)/5

Ponto = a + 3L

Contando os espaços, corresponde a coordenada do ponto R.

Resolução 2:

m = 2 e n = 3

$frac{2a+3b}{5}=a+frac{3(b-a)}{5}$

Além disso,

$overline{AP}=overline{PQ}=overline{QR}=overline{RS}=overline{SB}=mathbf{frac{b-a}{5}}=x$

Então,

$frac{2a+3b}{5}=a+3cdot mathbf{frac{(b-a)}{5}};;;;;;Rightarrow ;frac{2a+3b}{5}=a+3mathbf{x}$

Ou seja, partindo do poto A, andamos mais 3x,

Se fosse mais x, então pararíamos em P

Se fosse mais 2x, pararíamos em Q

Então, ao andar "mais 3x" paramos em R