Questão 63002

UFG 2012

Matemática

(UFG - 2012) Observe a figura a seguir, em que estão indicadas as medidas dos lados do triângulo maior e alguns dos ângulos.

O seno do ângulo indicado por α na figura vale:

A

$frac{4sqrt{3}-3}{10}$

B

$frac{4-sqrt{3}}{10}$

C

$frac{4-3sqrt{3}}{10}$

D

$frac{4+3sqrt{3}}{10}$

E

$frac{4sqrt{3}+3}{10}$

Gabarito:

$frac{4sqrt{3}-3}{10}$

Resolução:

Por trigonometria, podemos encontrar as medidas do triângulo menor, sendo x o cateto adjacente a 30° no triângulo menor:

$tg(30)=frac{sqrt{3}}{3}$

$frac{x}{6}=frac{sqrt{3}}{3}$

$x=frac{6sqrt{3}}{3}$

$x=2sqrt{3}$

Desta forma, os catetos do triângulo menor medem 6 e $2sqrt{3}$ , o lado que mede 8 então pode ser dividido em duas partes, 8 e $8-2sqrt{3}$ , como na figura a seguir:

Podemos notar também que devido ao teorema do ângulo externo, $eta = 90 + 30 = 120$ .

Assim, podemos utilizar a lei dos senos para encontrar o valor do seno de $alpha$ .

$frac{sen(alpha)}{8-2sqrt{3}}=frac{sen(120)}{10}$

Utilizando conhecimentos do cíclo trigonométrico, sabemos que $sen(120)=sen(60)=frac{sqrt{3}}{2}$ .

$frac{sen(alpha)}{8-2sqrt{3}}=frac{frac{sqrt{3}}{2}}{10}$

${sen(alpha)}=frac{{(8-2sqrt{3})}(sqrt{3})}{2 imes10}$

${sen(alpha)}=frac{8sqrt{3}-6}{2 imes 10}$

${sen(alpha)}=frac{4sqrt{3}-3}{10}$

Alternativa A.