Questão 5960

UFES 1982

Matemática

(UFES - 1982) O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte do suplemento deste ângulo. Este ângulo mede:

$frac{7pi}{8}rad$

$frac{5pi}{16}rad$

$frac{7pi}{4}rad$

$frac{7pi}{16}rad$

$frac{5pi}{8}rad$

Gabarito:

$frac{7pi}{16}rad$

Resolução:

Estamos nos referindo a um mesmo ângulo aqui. Então vamos chamar este ângulo de $heta$ .

Na primeira parte do enunciado: "O triplo do complemento de um ângulo". O que isto significa?

O complemento de $heta$ é 90º - $heta$ , certo? Logo, o triplo do complemento de $heta$ é igual a 3.(90º - $heta$ ).

Na segunda parte do enunciado: "terça parte do suplemento deste ângulo". O que isto significa?

A terça parte de algo é este algo dividido por três. Por exemplo: a terça parte de 3 é 1 ou a terça parte de 12 é 4. Terça parte quer dizer que você está dividindo o número em três partes iguais e você só quer uma parte destas três partes iguais. Dividir um número em três partes iguais é o mesmo que falar dividir o número por 3.

O suplemento de $heta$ é 180º - $heta$ . Então, a terça parte do suplemento do ângulo é igual a 180º - $heta$ dividido por 3, ou seja, (180º - $heta$ )/3.

Daí, como é falado no enunciado, o triplo do complemento de $heta$ é igual à terça parte do suplemento de $heta$ :

$3cdotleft(90^{circ}- heta ight )=frac{left(180^{circ}- heta ight )}{3}$ passando o 3 de baixo de (180º - $heta$ ) para a esquerda multiplicando:

$\left(3cdotleft(90^{circ}- heta ight ) ight )cdot3=left(180^{circ}- heta ight )\\\ 3cdot3cdotleft(90^{circ}- heta ight )=left(180^{circ}- heta ight )\\\ 9cdot90^{circ}-9cdot heta=180^{circ}- hetaRightarrow8 heta=810^{circ}-180^{circ}Rightarrow heta=78,75^{circ}$

Como os itens estão em radianos e não em graus, então devemos fazer a conversão para radianos. Mas como fazemos isto? Só aplicar a "fórmula": $hetaleft[em,,rad ight ]=picdotfrac{ hetaleft[em,,graus ight ]}{180^{circ}}$ .

$hetaleft[em,,rad ight ]=picdotfrac{78,75^{circ}}{180^{circ}}=picdotfrac{315}{720}=picdotfrac{63}{144}=picdotfrac{7}{16}$

A alternativa correta é, portanto, a Letra D.