Questão 64722

UERJ 2019

Matemática

(UERJ - 2019) Observe na imagem uma pirâmide de base quadrada, seccionada por dois planos paralelos à base, um contendo o ponto A e o outro o ponto B. Esses planos dividem cada aresta lateral em três partes iguais.

Considere as seguintes medidas da pirâmide:
• altura = 9 cm;
• aresta da base = 6 cm;
• volume total = 108 $cm^3$ .

O volume da região compreendida entre os planos paralelos, em $cm^3$ , é:

Gabarito:

Resolução:

Com base no enunciado conseguimos construir as seguinte figura:

Onde o segmento roxo corresponde a altura total da pirâmide e cada uma das alturas medirá 3, visto que a aresta lateral é proporcional a altura e essa foi dividida por 3.

Dessa forma, construímos 3 pirâmides proporcionais, sendo essas $P_1$ a pirâmide de vértice V e base no plano que B pertence, $P_2$ a pirâmide de vértice V e base no plano que A pertence e $P_3$ a pirâmide completa.

Usando a proporção entre volume e altura de $P_1$ e $P_3$ , onde V é o volume e h a altura de cada uma das pirâmides, temos:

$frac{V_1}{V_3} = left (frac{h_1}{h_3} ight )^3Leftrightarrow frac{V_1}{108} = left (frac{3}{9} ight )^3Leftrightarrow V_1 = frac{108}{27} = 4$

Fazendo a mesma relação entre $P_1$ e $P_2$ , temos:

$frac{V_1}{V_2} = left (frac{h_1}{h_2} ight )^3Leftrightarrow frac{4}{V_2} = left (frac{3}{6} ight )^3Leftrightarrow V_2 = 32$

Logo o volume do tronco da pirâmide será:

$V_2 - V_1 = 32 - 4 = 28$

Questão 64722

UERJ 2019

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