Questão 4142

UERJ 2008

Física

(Uerj 2008) Duas partículas, X e Y, em movimento retilíneo uniforme, têm velocidades respectivamente iguais a 0,2 km/s e 0,1 km/s.

Em um certo instante t1, X está na posição A e Y na posição B, sendo a distância entre ambas de 10 km.

As direções e os sentidos dos movimentos das partículas são indicados pelos segmentos orientados AB e BC, e o ângulo AB C mede 60°, conforme o esquema.

Sabendo-se que a distância mínima entre X e Y vai ocorrer em um instante t₂, o valor inteiro mais próximo de t₂ - t₁, em segundos, equivale a:

Gabarito:

Resolução:

MÉTODO 1:

Podemos fixar o referencial em uma das partículas e analisar a distância mínima que a outra partícula chega da partícula fixada. Faremos isso com a partícula Y (que está em B), como fica a velocidade resultante de X (que está em A) no referencial de Y?

Lembrando que:

$v_{X/Y}=v_X-v_Y$

Assim, chegamos no seguinte resultado:

Onde a soma desses vetores é a velocidade final de X, assim podemos encontrar a velocidade final e a trajetória da partícula X e a partir daí saber onde ocorre a distância mínima:

Assim já podemos calcular a velocidade resultante e o ângulo que essa velocidade faz com a reta que une as partículas:

Calculando v a partir da lei dos cosenos:

$v^2=0,1^2+0,2^2-2 imes 0,1 imes 0,2 imes cos(120^{circ})$

$v=frac{sqrt{7}}{10}km/s$

Calculando a a partir da lei dos senos:

$frac{sen(a)}{0,1}=frac{sen(120^{circ})}{frac{sqrt{7}}{10}}$

$sen(a)=frac{sqrt{3}}{2sqrt{7}}$

Agora usaremos um pouco mais de geometria para saber em que ponto ocorre a distância mínima:

Assim encontramos a distância percorrida até o ponto de distância mínima:

$cos(a)=frac{Delta s}{10}=sqrt{1-sen^2(a)}=frac{5}{2sqrt{7}}$

$Delta s=frac{25}{sqrt{7}}$

E finalmente podemos usar a equação horária de um movimento uniforme para encontrarmos quanto tempo se passou:

$v=frac{Delta s}{Delta t}$

$Delta t=frac{Delta s}{v}=frac{25}{sqrt{7}} imesfrac{10}{sqrt{7}}=frac{250}{7}$

$Delta t=36s$

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MÉTODO 2: No referencial da Terra

Se não mudarmos o referencial, a resolução é possível, embora mais complexa.. para isso escrevemos as posições de X e Y em termos de coordenadas x e y:

Se fixarmos o ponto B, por exemplo como a origem do sistema de coordenadas teremos:

*) Para a partícula X:

$x_{X} = -10+0,2t$