Questão 7883

UERJ 2004

Matemática

(UERJ - 2004) Duas esferas metálicas maciças de raios iguais a 8 cm e 5 cm são colocadas, simultaneamente, no interior de um recipiente de vidro com forma cilíndrica e diâmetro da base medindo 18 cm. Neste recipiente despeja-se a menor quantidade possível de água para que as esferas fiquem totalmente submersas, como mostra a figura.

Posteriormente, as esferas são retiradas do recipiente. A altura da água, em cm, após a retirada das esferas, corresponde, aproximadamente, a:

A

10,6

B

12,4

C

14,5

D

25,0

Gabarito:

14,5

Resolução:

1) Analisando os dados fornecidos no enunciado:

2) Logo, a altura do cilindro será 8+x+5.

3) Calculando x:

$(8+5)^2=x^2+(18-8-5)^2$

$(13)^2=x^2+(5)^2$

$\ x^2=144 \ x=12$

4) Logo, a altura do cilindro será 8+12+5=25cm

5) Calculando o volume da esfera menor:

$V=frac{4pi cdot r^3}{3}=frac{4pi cdot 5^3}{3}$

6) Calculando o volume da esfera maior:

$V=frac{4pi cdot r^3}{3}=frac{4pi cdot 8^3}{3}$

7) Calculando o volume do cilindro:

$V=pi r^2 h=pi cdot 9^2 cdot 25$

8) Logo, o volume da água restante será o volume do cilindro menos os volumes das esferas:

$V=pi cdot 9^2 cdot 25-frac{4pi cdot 8^3}{3}-frac{4pi cdot 5^3}{3}$

$V=frac{3527pi }{3}$

9) Com isso, altura da água, em cm, após a retirada das esferas, corresponde, aproximadamente, a

$pi cdot 9^2 cdot h=frac{3527pi }{3}$

$h=frac{3527 }{3 cdot 9^2}$

$happrox 14.5$

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