Questão 7724

Matemática

(Uel 1996) A solução n da equação $frac{inom{n+1}{4}}{inom{n-1}{2}}=frac{7}{2}$ é um número inteiro múltiplo de

Gabarito:

Resolução:

$frac{inom{n+1}{4}}{inom{n-1}{2}}=frac{7}{2}$

1) Repare que não trata de duas frações, mas de coeficientes binomiais. Logo,

$inom{m}{n}=frac{m!}{r!(m-r)!}$

2) Com isso,

$LARGE frac{frac{(n+1)!}{4!(n+1-4)!}}{frac{(n-1)!}{2!(n-1-2)!}}=frac{7}{2}$

3) Como $frac{frac{a}{b}}{frac{c}{d}}=frac{acdot :d}{bcdot :c}$

$frac{left(n+1 ight)!cdot :2!left(n-3 ight)!}{4!left(n-3 ight)!left(n-1 ight)!}=frac{7}{2}$

4) Simplificando:

$frac{nleft(n+1 ight)}{12}=frac{7}{2}$

$nleft(n+1 ight)cdot :2=84$

$n^2+n-42=0$

$n_{1,:2}=frac{-1pm sqrt{1^2-4cdot :1left(-42 ight)}}{2cdot :1}$

$oxed{n_1=6},:n_2=-7$

5) Logo, n é um inteiro múltiplo de 3.