Questão 7766

Matemática

(UEL - 1994) Se um dos termos do desenvolvimento do binômio (x + a)⁵, com a ∈ , é 80x², então o valor de a é

Gabarito:

Resolução:

Pela expansão multinomial, podemos descobrir quais são cada coeficiente da expansão.

Em um binômio da forma:

$(x+a)^n$ , em que queremos descobrir o coeficiente com expoente p, o coeficiente é:

$inom{n}{p} cdot (x)^p cdot (a)^{n-p}$

Assim, aplicando isto na questão, temos a expressão:

$(x+a)^5$

E queremos descobrir o termo em que x tem o expoente 2, ou seja, temos p = 2 e n = 5.

Assim, aplicando na formula do coeficiente:

$inom{5}{2} cdot (x)^2 cdot (a)^{5-2}$

$inom{5}{2} cdot (x)^2 cdot (a)^{3}$

Realizando as contas:

$frac{5!}{2!3!} cdot (x)^2 cdot (a)^{3}$

$frac{5cdot4}{2} cdot (x)^2 cdot (a)^{3}$

$10 cdot x^2 cdot a^{3}$

Nos é dado que este termo é o mesmo que $80x^2$ :

$10 cdot x^2 cdot a^{3} = 80x^2$

$10 cdot a^{3} = 80$

$a^{3} = 8$

$a = 2$