Questão 12224

UECE 2016

Matemática

(UECE - 2016) Se a medida dos comprimentos dos lados de um triângulo retângulo forma uma progressão geométrica crescente, então, a razão dessa progressão é igual a

Gabarito:

Resolução:

Vamos chamar um cateto de $b$ , outro cateto de $c$ e a hipotenusa de $a$ . Então a relação de Pitágoras é $a^2=b^2+c^2$ .

Como sabemos o maior lado do triângulo retângulo é a hipotenusa, então a hipotenusa é o terceiro elemento da PG. Vamos arbitrar que $c$ seja o primeiro elemento dessa PG. E vamos dizer que a razão dessa PG é $q$ e como a PG é crescente, $q>1$ , então temos a seguinte relação:

$b=ccdot q$

$a=ccdot q^2$

Queremos saber o valor de $q$ .

Agora vamos utilizar da relação acima:

$a^2=b^2+c^2Rightarrow left(ccdot q^2 ight )^2=left(ccdot q ight )^2+left(c ight )^2Rightarrow c^2q^4=c^2q^2+c^2$ , como $c eq0$ , então podemos fazer

$q^4=q^2+1Rightarrow q^4-q^2-1=0$

Vamos chamar, sem perda de generalidade, $q^2$ de $x$ , ou seja, $x=q^2$ :

$q^4-q^2-1=x^2-x-1=0Rightarrow Delta=1+4=5$

$x=frac{+1pmsqrt{5}}{2}=q^2Rightarrow q=sqrt{frac{1pmsqrt{5}}{2}}$ , mas como $1-sqrt{5}<0$ , então a solução $q=sqrt{frac{1-sqrt{5}}{2}}$ não é uma solução pois não é um número real. Logo,

$q=sqrt{frac{1+sqrt{5}}{2}}$ é solução.

A Letra B é correta.

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