Questão 8218

UECE 2008

Matemática

(Uece 2008) Uma esfera está circunscrita a um cubo cuja medida da aresta é 2 m. A medida do volume da região exterior ao cubo e interior à esfera é

Gabarito:

Resolução:

Se o cubo está inscrito na esfera, então o diâmetro dessa esfera é igual à diagonal maior do cubo.

A maior diagonal do cubo é a hipotenusa do triângulo cujos catetos são a aresta igual a 2 m e a diagonal da face que é a diagonal de um quadrado de lado L, isto é, $Lsqrt{2}$ .

Portando, seja D a maior diagonal:

$D^{2} = 2^{2} + (2sqrt{2})^{2}$

$D^{2} = 4 + 8$

$D^{2} = 12 Rightarrow D = 2sqrt{3}$

O raio da esfera é metade do diâmetro: $R = sqrt{3}$

Assim, o volume pedido na questão é a diferença entre o volume da esfera e o volume do cubo:

$V = frac{4pi R^{3}}{3} - L^{3}$

$V = frac{4pi (sqrt{3})^{3}}{3} - 2^{3}$

$V = 4(pi sqrt{3} -2) m^{3}$