Questão 39226

PUC 2018

Matemática

Considere os seguintes dados.

Pode-se dizer que quando duas variáveis x e y são tais que a cada valor de x corresponde um único valor de y segundo uma lei matemática, diz-se que é função de x Considere uma função $f: R ightarrow R_+$ que é representada pelo gráfico a seguir.

Analisando o gráfico, julgue as proposições a seguir

I. f é ímpar.

II. f é injetora.

III. A lei matemática de f é $f(x)=left | left | x ight |-1 ight |.$

IV. f é crescente se, e só se, x > 1.

V. $(fcirc f)(-1)=(fcirc f)(1).$

A

Somente II é correta.

B

Somente I é correta.

C

Somente III e V são corretas.

D

Todas as proposições são corretas.

E

Todas as proposições são falsas.

Gabarito:

Somente III e V são corretas.

Resolução:

I. f é ímpar. FALSA

Dizemos que f é ímpar se, e somente se, f(-x)=-f(x) para todo x. Porém essa regra não ocorre.

Ex: x=2

f(-2)=-f(2) -> 1=-1. Falso

II. f é injetora. FALSA

Uma função injetora é aquela na qual cada elemento da imagem está relacionado a um único elemento do domínio. Isso não ocorre, pois, por exemplo, f(-1)=f(1).

III. A lei matemática de f é $f(x)=left | left | x ight |-1 ight |.$ VERDADEIRA

Analisando a função detalhadamente:

1) Para $x geq 0 ightarrow f(x) = |x-1|$

1.1) Para $x-1 <0 ightarrow 0 leq x<1$

$f(x) = -x+1$

1.2) Para $x - 1 geq 0 ightarrow x geq1$

$f(x) = x-1$

2) Para $x < 0 ightarrow f(x) = |-x-1|$ -> f(x)=| -x -1 |

2.1) Para $-x-1 geq 0 ightarrow x leq -1$

$f(x) = -x-1$

2.2) Para $-x-1 < 0 ightarrow -1 < x < 0$

$f(x) = x+1$

Logo, f(x) será

$f(x) = left{egin{matrix} x-1 & , para ; xgeq 1 \ -x+1 & , para ; 0leq x< 1 \x+1 & , para ; -1 leq x< 0 \ -x-1& , para ; x<-1 end{matrix} ight.$

O que corresponde ao gráfico.

IV. f é crescente se, e só se, x > 1. FALSA

Ela será crescente em duas partes: $-1 leq x< 0 ; e ; xgeq 1$

V. $(fcirc f)(-1)=(fcirc f)(1).$ VERDADEIRA

$(fcirc f)(-1)=(fcirc f)(1) ightarrow$

$f(f(-1)) = f(f(1))$

Como $f(-1)= f(1)$ , temos que é verdadeira.

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