Questão 6600

PUC 1999

Matemática

(Pucpr 1999) AB e CD são dois diâmetros perpendiculares de um círculo de raio 1 dm. Calcular a área da superfície comum a esse círculo e ao círculo de centro A e raio AC. Resposta em dm²:

π + 2

π - 2

π + 1

π - 1

Gabarito: π - 1

Resolução:

Primeiramente, veja que o raio AC mede $sqrt{2}$ dm (pois é hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles cujos catetos medem 1 dm).

Sejam:

O o centro do círculo de raio 1 dm;

$S$ a área hachurada;

$S_{1}$ a área do segmento circular, cujo raio do círculo é AC = $sqrt{2}$ dm, limitado pela corda CD;

$S_{2}$ a área do triângulo ACD; e

$S_{3}$ a área do semicírculo de raio 1 dm.

Assim, temos que:

$S=S_{1}+S_{3}$

Ainda, veja que o ângulo CAD é reto (90º), pois o ângulo AOC = AOD = 45º.

Calculando cada termo, vem que:

(i) $S_{2}=ACcdot ADcdot frac{1}{2}=sqrt{2}cdot sqrt{2} cdot frac{1}{2}=1dm^{2}$ ;

(ii) Repare que como o ângulo CAD é de 90º, então a área do círculo limitado por um ângulo de 90º corresponde a 1/4 da área total do círculo, vem que:

$S_{1}=frac{1}{4}cdot pi AC^{2}-S_{2}$ , onde $pi AC^{2}$ é a área do círculo de raio AC.

Assim, segue que:

$S_{1}=frac{1}{4}cdot pi AC^{2}-S_{2} \S_{1}=frac{1}{4}cdot pi sqrt{2}^{2}-1 \S_{1}=frac{1}{4}cdot 2pi-1 \S_{1}=frac{pi}{2}-1$ ;

(iii) $S_{3}=frac{1}{2}cdot pi cdot1^{2}=frac{pi}{2}dm^2$ ;

Portanto, temos que:

$S=S_{1}+S_{3}=frac{pi}{2}-1+frac{pi}{2}=pi-1 dm^2$ .

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