Questão 12012

Matemática

(PUC-77) Se $A = {x epsilon mathbb{R} mid x^2-3x+2 leq 0 }$ e $B= {x epsilon mathbb{R} mid x^2-4x+3 > 0 }$ , então A cap overline{B} é igual a:

{2}

{x epsilon mathbb{R} mid 2< x leq 3}

vazio

{x epsilon mathbb{R} mid 1leq x leq 3}

{x epsilon mathbb{R} mid 1leq x leq 2}

Gabarito:

{x epsilon mathbb{R} mid 1leq x leq 2}

Resolução:

Vamos encontrar os conjuntos A e B e depois realizar a operação de conjuntos dada.

A) A é o conjunto dos x pertencentes aos reais, tais que obedecem a inequação:

x² - 3x + 2 ≤ 0

As raízes de x² - 3x + 2 = 0 são 1 e 2.

Assim, temos que:

Se x² - 3x + 2 ≤ 0, então 1 ≤ x ≤ 2

A = [1; 2]

B) B é o conjunto dos x pertencentes aos reais, tais que obedecem a inequação:

x² - 4x + 3 > 0

As raízes de x² - 4x + 3 = 0 são 1 e 3.

Assim, temos que:

Se x² - 4x + 3 > 0, então x < 1 ou x > 3

B = ]-∞; 1[ U ]3; +∞[

O complementar de B, é

$ar{B} = mathbb{R}-B = [1; ; 3]$

Assim, temos que:

$Acap ar{B} = [1;;2]cap [1;; 3] = [1; ;2]$

Então x pertence aos reais, tal que 1 ≤ x ≤ 2