Questão 7102

PUC 1972

Matemática

(PUC - 1972) Quais são os valores de k, para que a matriz

$A = egin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \ k &1 & 3\ 1 & k & 3end{bmatrix}$

não seja invertível,?

k = -4 e k = -2

k = 1 e k = 2

k = 0 e k = -1

k = 1 e k = -4

k = 1 e k = -1

Gabarito:

k = 1 e k = -4

Resolução:

1) Uma matriz é chamada de inversível ou não singular se e somente se seu determinante é diferente de zero.

2) Calculando o determinante de A:

2.1) Lembrando que

$egin{vmatrix}a&b&c\ d&e&f\ g&h&iend{vmatrix}=acdot egin{vmatrix}e&f\ h&iend{vmatrix}-bcdot egin{vmatrix}d&f\ g&iend{vmatrix}+ccdot egin{vmatrix}d&e\ g&hend{vmatrix}$

2.2)

$egin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \ k &1 & 3\ 1 & k & 3end{vmatrix}=1cdot egin{vmatrix}1&3\ k&3end{vmatrix}-0cdot egin{vmatrix}k&3\ 1&3end{vmatrix}-1cdot egin{vmatrix}k&1\ 1&kend{vmatrix}$

2.3) Desenvolvendo:

$egin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \ k &1 & 3\ 1 & k & 3end{vmatrix}=1cdot left(3-3k ight)-0cdot left(3k-3 ight)-1cdot left(k^2-1 ight)$

$egin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \ k &1 & 3\ 1 & k & 3end{vmatrix}=-k^2-3k+4$

3) Logo, $-k^2-3k+4 eq 0$

$k_{1,:2}=frac{-left(-3 ight)pm sqrt{left(-3 ight)^2-4left(-1 ight)4}}{2left(-1 ight)}$

$b e :-4quad mathrm{e}quad :b e :1$

Questão 7102

PUC 1972

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