Questão 6645

PUC 1971

Matemática

(PUC-71) Para todo x real, sempre vale a relação:

Gabarito:

Resolução:

Relação Fundamental da Trigonometria:

$sin^2x+cos^2x=1$

$\sin^2x-cos^2x=-1;;;Rightarrow (1-cos^2x)-cos^2x=-1\\2cos^2x=2;;;;Rightarrow cos x=pm1\\ herefore x=kpi,;;kin mathbb{Z}$

Ou seja, a expressão NÃO é válida para QUALQUER x real.

$\sin(x+y)=sin xcdot cos y+sin ycdot cos x\\x=y;;; ightarrow ;;x+y=2x\\ herefore sin(x+y)=sin (x+x)=sin(2x)=sin xcdot cos x +sin xcdot cos x\\sin 2x=2sin xcdot cos x,;;forall xin mathbb{R}$

$extrm{Se;x}=frac{pi}{2}+kpi; extrm{a;tangente;n} reve{a} extrm{o;estar}acute{a};; extrm{definida,;pois;n}reve{a} extrm{o;existe;divis}reve{a} extrm{o;por;zero.}$

$\sin^2x+cos^2x=1;;;; extrm{dividindo;por};cos^2x;( extrm{x} eqfrac{pi}{2}+kpi):\\\frac{sin^2x}{cos^2x}+frac{cos^2x}{cos^2x}=frac{1}{cos^2x};;;;Rightarrow an^2x=sec^2x-1$

$extrm{Se;x}=kpi; extrm{a;cotangente;n} reve{a} extrm{o;estar}acute{a};; extrm{definida,;pois;n}reve{a} extrm{o;existe;divis}reve{a} extrm{o;por;zero.}$