Questão 63372

Matemática

(MACKENZIE - 2019) A função $f(x)=3cos(frac{x}{2}+x)$ no intervalo $0leq;x;leq2pi$ é positiva para

$0<;x;<2pi$

$pi<;x;<2pi$

$0<;x;<pi$

$frac{pi}{2}<;x;<frac{3pi}{2}$

$0<;x;<frac{pi}{2}$

Gabarito:

$pi<;x;<2pi$

Resolução:

Com base nas informações do enunciado, temos:

$f(x)=3cdot cosleft (frac{x}{2}+x ight )$

$f(x) > 0 Rightarrow 3 cdot cosleft ( frac{x}{2} + x ight ) > 0 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 0 < frac{3x}{2} < frac{pi}{2} ext{ ou } frac{3pi}{2} < frac{3x}{2} < 2pi Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 0 < x < frac{pi}{3} ext{ ou } pi < x < frac{4pi}{3}$

Não existe alternativa que satisfaça essas condições.

Supondo que a sentença correta que define a função, seja:

$f(x) = 3 cdot cosleft ( frac{x}{2} + pi ight )$ , temos:

$f(x) > 0 Rightarrow 3 cdot cosleft ( frac{x}{2} + pi ight ) > 0 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 0 < frac{x}{2} + pi < frac{pi}{2} ext{ ou } frac{3pi}{2} < frac{x}{2} + pi < 2pi Leftrightarrow$

$Leftrightarrow -pi < frac{x}{2} < -frac{pi}{2} ext{ ou } frac{pi}{2} < frac{x}{2} < pi Leftrightarrow$

$Leftrightarrow -2pi < x < pi ext{ ou } pi < x < 2pi$

Como $0leq;x;leq2pi$ , a única solução possível é: $pi < x < 2pi$ .

Logo, a alternativa correta seria a letra B.