Questão 7575

MACKENZIE 1999

Matemática

(Mackenzie 1999) Dentre os complexos z = (x, y) tais que

$left{egin{matrix} left | z - 1 ight | leq 1\ x - y geq 1 end{matrix} ight.,$

aquele de maior módulo tem:

x > 0 e y = 0

x < 0 e y = 0

x > 0 e y < 0

x > 0 e y > 0

x = 0 e y > 0

Gabarito:

x > 0 e y = 0

Resolução:

$\\ ext{A solução é mais rápida e elegante pelo método gráfico!\\ Veja, inicialmente que a primeira equação refere-se a todos os complexos que pertencem ao círculo de raio 1 e centro no ponto } (1,0) ext{.\\ A segunda equação, por outro lado, refere-se ao semiplano limitado pela reta } y=x-1 ext{ que não contém o ponto (0,0) (região do plano cartesiano inferior à reta).\\ Segue o gráfico mostrando isso:}$

$\\ ext{Veja que o complexo mais distante da origem é exatamente o número 2, que está no ponto (2,0) no gráfico.} \\ herefore;;oxed{x>0;; ext{e} ;;y=0}$

Obs.: A interpretação da primeira região é fácil se você lembrar que o módulo de um número representa a sua distância em relação à origem. No caso de |Z - 1| = |Z - (1 + 0*i)|, temos a distância de Z até o afixo do complexo 1 + 0*i, que no plano Argand-Gauss é o ponto (1; 0). Logo, temos que |Z - 1| ≤ 1 representa todos os pontos no interior da circunferência de raio 1 e centro (1;0).

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