Questão 6

ITA 2024

Física

(ITA - 2024)

Um observatório analisa a frequência de uma emissão eletromagnética, de frequência natural f_e, proveniente de duas estrelas que formam um sistema binário com órbitas circulares. O gráfico obtido está representado na figura.

Com base nesse gráfico, estime:

a) a distância que separa as duas estrelas em metros;

b) a massa de cada uma das estrelas em quilogramas.

Gabarito:

Resolução:

a) Temos que o período para ambas estrelas será igual, logo:

$\v_1=omega R_1\ v_2=omega R_2$

Podemos usar do período de 12 dias, assim:

$omega=frac{2pi}{T} ightarrow frac{2pi}{12}$

A distância entre as duas estrelas será a soma dos raios das órbitas:

$D=R_1+R_2$

Podemos montar a distância como:

$D=frac{v_1}{omega}+frac{v_2}{omega} ightarrow D=frac{12v_1}{2pi}+frac{12v_2}{2pi}$

Vamos encontrar essas velocidades agora.

Podemos usar o efeito doppler relativísitico de aproximação, pois o detector está em repouso e o sinal se aproxima do detector.

O efeito Doppler rel. para aproximações é:

$f_{d}=f_ecdot sqrt{frac{1+eta}{1-eta}}$

Onde fd é frequência detectada e fe a frequência emitida.

Sendo a frequência detectada igual a frequência emitida com mais algo, podemos escrever:

$f_{e}+Delta f=f_ecdot sqrt{frac{1+eta}{1-eta}} ightarrow 1+frac{Delta f}{f_e}= sqrt{frac{1+eta}{1-eta}}$

Elevando ao quadrado:

$(1+frac{Delta f}{f_e})^2= frac{1+eta}{1-eta}$

Sendo $etaleqslant 1$ podemos fazer:

$(1+frac{Delta f}{f_e})^2={(1+eta)^2} ightarrow 1+2cdotfrac{Delta f}{f_e}+frac{Delta f^2}{f_e^2}=1+2eta+eta^2$

Como $Delta fleqslant f_e , frac{Delta f^2}{f_e^2}approx0$ e $eta^2approx0$

Ficamos então com:

$1+2cdotfrac{Delta f}{f_e}=1+2eta$

Desenvolvendo e abrindo o beta:

$frac{Delta f}{f_e}=eta ightarrow frac{Delta f}{f_e}=frac{v}{c } ightarrow v=frac{Delta f}{f_e}c$

Agora fazendo essa relação para as duas estrelas:

$v_1=frac{0,001f_e}{f_e}c ightarrow 0,001c ightarrow 10^{-3}cdot3cdot10^8=3cdot10^5m/s$

$v_2=frac{0,001f_e}{2f_e}c ightarrow frac{0,001}{2}c ightarrow frac{10^{-3}}{2}cdot3cdot10^8=1,5cdot10^{5}m/s$

Aplicando naquela expressão lá em cima da distância:

$D=frac{6v_1}{pi}+frac{6v_2}{pi} ightarrow frac{6}{pi}(v_1+v_2)$

$D=frac{6(dias)}{pi}(3cdot10^5+1,5cdot10^5) ightarrow D=frac{6cdot24cdot3600}{3,14}cdot(4,5cdot10^5)$

$D=7,4cdot10^{10}m$

b) A força gravitacional é igual a força centrípeta no sistema. Para a estrela 1:

$\frac{GM_1M_2}{D^2}=frac{M_1cdot v_1^2}{R_1} ightarrow M_2=frac{D^2cdot v_1^2}{Gcdot R_1}$

O raio R1 é:

$R_1=frac{v_1}{omega} ightarrow frac{3cdot10^5}{frac{2pi}{12cdot24cdot3600}}=4,9cdot10^{10}m$

Substituindo então os valores:

$M_2=frac{(7,4cdot10^{10})^2cdot( 3cdot10^5)^2}{6,7cdot10^{-11}cdot4,9cdot10^{10}}=1,5cdot10^{32 }kg$

Para a segunda estrela vamos ter um caso análogo:

$\frac{GM_1M_2}{D^2}=frac{M_2cdot v_2^2}{R_2} ightarrow M_1=frac{D^2cdot v_2^2}{Gcdot R_2}$

$R_2=frac{v_2}{omega} ightarrow frac{1,5cdot10^5}{frac{2pi}{12cdot24cdot3600}}=2,5cdot10^{10}m$

$M_1=frac{(7,4cdot10^{10})^2cdot(1,5cdot10^5)^2}{6,7cdot10^{-11}cdot 2,5cdot10^{10}}=7,5cdot10^{31}kg$

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