Questão 6

ITA 2024

Física

(ITA - 2024)

Questão 6. Um professor montou um experimento com dois pêndulos simples, com fios de mesmo comprimento. Os pêndulos se mantiveram perfeitamente síncronos, cada qual com período de 2s, em um dia cuja temperatura local era de 10°C. Num outro dia, passados alguns minutos, notou- se que os pêndulos perdiam a sincronicidade. O professor associou tal fenômeno à variação de temperatura local, já que o termômetro do laboratório marcava 30°C naquele dia e que o coeficiente de dilatação térmica dos fios era de $alpha_1={2cdot10^{-5}} ^circ C^{-1}$ e $alpha_2={7cdot10^{-5}} ^circ C^{-1}$

Assinale a alternativa que contém a melhor estimativa do intervalo de tempo entre o início do movi- mento e o instante em que os pêndulos apresentaram uma defasagem de meio ciclo pela primeira vez.

17 min

33 min

40 min

66 min

80 min

Gabarito:

33 min

Resolução:

O período do pêndulo na termperatura de 10° é:

$T_0=2picdotsqrt{frac{L_0}{g}}=2s$

Na temperatura final, de 30°:

$T_1=2picdotsqrt{frac{L_1}{g}}$

Tirando a razão entre eles:

$frac{T_1}{T_0}=frac{2picdotsqrt{frac{L_1}{g}}}{2picdotsqrt{frac{L_0}{g}}} ightarrow frac{T_1}{2}=sqrt{frac{L_1}{L_0}}$

$frac{T_1}{2}=sqrt{frac{L_0cdot(1+alpha_1cdot Delta heta)}{L_0}} ightarrow T_1=2cdotsqrt{1+2cdot10^{-5}cdot20} ightarrow T_1=2sqrt{1+4cdot10^{-4}}$

Aplicando a propriedade:

$(1+x)^n=1+nx$

Quando x é muito pequeno, podemos reescrever a expressão de T1 como:

$T_1=2cdot(1+frac{1}{2}cdot4cdot10^{-4}) ightarrow T_1=2+4cdot10^{-4}$

Agora fazendo pro pêndulo com o segundo coeficiente de dilatação, podemos fazer analogamente:

$frac{T_2}{2}=sqrt{frac{L_0cdot(1+alpha_2cdot Delta heta)}{L_0}} ightarrow T_2=2cdotsqrt{1+7cdot10^{-5}cdot20} ightarrow T_2=2sqrt{1+14cdot10^{-4}}$

Aplicando a mesma propriedade:

$T_2=2(1+frac{1}{2}cdot14cdot10^{-4}) ightarrow T_2=2+14cdot10^{-4}$

Sendo assim:

$Delta T=T_2-T_1=10^{-3}s$

Para que haja uma defasagem de meio ciclo:

$Delta T=frac{T_0}{2}=1s$

Para 1 ciclo temos a defasagem de $10^{-3}s$ , e para n ciclos até termos 1s de defasagem, sendo assim n é igual a 1000 ciclos. O intervalo de tempo total desses 1000 ciclos:

$1000cdot2s=2000s ightarrow 2000div60=33,33 min$

O intervalo de tempo é aproximadamente 33 minutos

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