Questão 7
ITA 2018
(ITA - 2018 - 2ª FASE)
Quantos pares de números inteiros positivos existem cujo mínimo múltiplo comum é
? Para efeito de contagem, considerar
Gabarito:
Resolução:
Fatorando o número , temos:
Seja e
Como e
têm
como mínimo múltiplo comum teremos que o expoente máximo de cada fator primo terá que ser o próprio expoente da fatoração. Dessa foram, temos:
, isso implica que os possíveis valores de
e
são:
, isso implica que os possíveis valores de
e
são:
, isso implica que os possíveis valores de
e
são:
, isso implica que os possíveis valores de
e
são:
O número de possibilidades para os expoentes de cada um dos fatores são essas listadas a cima.
Agora vamos dividir em dois casos, e
.
- O número de possibilidades para
e
, tais que
e
, usando o princípio multiplicativo com as possibilidades listadas acima, teremos:
, porém no enunciado é dito para desconsiderarmos as permutações, por tanto, teremos
possibilidades.
- Para
e
Portanto, o número total de possibilidades será .