Questão 10

ITA 2018

Matemática

(ITA - 2018 - 2ª FASE)

No plano cartesiano são dados o ponto $P=(0,3)$ e o triângulo de vértices $A=(0,0)$ , $B=(3,0)$ e $C=(3,2)$ . Determine um ponto $N$ sobre o eixo dos $x$ de modo que a reta que passa por $P$ e $N$ divida o triângulo $ABC$ em duas regiões de mesma área.

Gabarito:

Resolução:

Seja $r$ a reta que passa pelo ponto $P(0, 3)$ e $N(n, 0)$ , dividindo o triângulo $ABC$ em duas regiões de mesma área, passando sobre o segmento $AC$ no ponto $O$ de coordenadas $(X_{O}, Y_{O})$ , exemplificado a seguir:

Usando a semelhança de triângulos entre $ABC$ e $AX_OO$ , temos:

$frac{2}{3} = frac{Y_O}{X_O} Rightarrow Y_O = frac{2}{3}cdot X_O$

Como a área do triângulo $AON$ é metade do triângulo $ABC$ , teremos:

$frac{ncdot Y_O}{2} = frac{1}{2}cdot left (frac{3cdot 2}{2} ight ) Rightarrow Y_O = frac{3}{n}$

Substituindo o valor encontrado anteriormente:

$Y_O = frac{3}{n}Rightarrow frac{2}{3}cdot X_O = frac{3}{n}Rightarrow X_O =frac{9}{2n}$

Como os três pontos, $P$ , $O$ e $N$ são colineares temos que:

$egin{vmatrix} 0 & 3 & 1\ X_O & Y_O & 1\ n & 0 & 1 end{vmatrix} = 0 Rightarrow egin{vmatrix} 0 & 3 & 1\ frac{9}{2n} & frac{3}{n} & 1\ n & 0 & 1 end{vmatrix} = 0 Rightarrow 0cdot egin{vmatrix} frac{3}{n} & 1\ 0 & 1 end{vmatrix} - 3cdot egin{vmatrix} frac{9}{2n} & 1\ n & 1 end{vmatrix} + 1cdot egin{vmatrix} frac{9}{2n} & frac{3}{n}\ n & 0 end{vmatrix}$

$\ 0 - 3cdot left (frac{9}{2n} - n ight ) + (0-3) = 0 Rightarrow -3cdot left (frac{9-2n^2}{2n} ight )-3 = 0 Rightarrow \ \ \ Rightarrow 6n^2 - 27 - 6n = 0 Rightarrow 2n^2 - 2n - 9 =0$

Resolvendo essa equação de segundo grau, chegamos a:

$n = frac{1pm sqrt{19}}{2}$

Porém, nosso ponto $N$ tem coordenadas positivas e portanto ⁣ $N = left (frac{1+ sqrt{19}}{2}, 0 ight )$

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