Questão 8
ITA 2018
(ITA - 2018 - 2ª FASE)
A aresta lateral de uma pirâmide reta de base quadrada mede 13 cm e a área do círculo inscrito na base mede . Dois planos,
e
paralelos à base, decompõem a pirâmide em três sólidos de mesmo volume. Determine a altura de cada um desses sólidos.
Gabarito:
Resolução:
Vamos utilizar o desenho esquemático mostrado abaixo para auxiliar na resolução:
Seja o raio da circunferência inscrita, temos que:
Como , teremos que:
A diagonal será a medida do lado multiplicado por raiz de dois, logo:
E é a sua metade,
.
Utilizando Pitágoras no triângulo , temos:
Agora vamos traçar os planos e
separando a altura
em duas alturas
e
, medidas dos planos
e
até o vértice
, respectivamente.
Utilizando semelhança de sólidos podemos comparar as alturas com os respectivos volumes. Como o volume da piramide formada pelo corte do plano é um terço do volume, temos:
Já a piramide formada pelo plano terá o volume de dois terços do volume inicial, portanto, teremos que:
Agora precisamos definir as alturas de cada um desses sólidos, então temos:
A altura do sólido 1 é:
Já a do sólido 2 será :
A altura , do sólido 3, será a altura da piramide menos
, logo:
Com isso calculamos todas as alturas dos sólidos.