Questão 8

ITA 2018

Matemática

(ITA - 2018 - 1 FASE)

As raízes do polinômio 1 + z + z² + z³ + z⁴ + z⁵ + z⁶ + z⁷, quando representadas no plano complexo, formam os vértices de um polígono convexo cuja área é

$frac{sqrt{2}-1}{2}$

$frac{sqrt{2}+1}{2}$

$sqrt{2}$

$frac{3sqrt{2}+1}{2}$

$3sqrt{2}$

Gabarito:

$frac{3sqrt{2}+1}{2}$

Resolução:

$1 +z+z^{2}+z^{3}+ z^{4}+z^{5}+z^{6}+z^{7} =0$

$frac{z^{8-1}}{z-1} = 0$

( $z^{8}=1$ e $z$ ≠ $1$ )

Desse modo, as raízes da equação dada são os vértices de um octógono regular de centro na origem e raio do círculo circunscrito 1, com exceção de z = 1. Tal figura é um heptágono:

Sendo assim, a área é:

$frac{1.1. sen45}{2} +frac{1.1}{2}=frac{3 sqrt{2} +1}{2}$

Portanto, a alternativa correta é a letra D.

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