Questão 4

ITA 2018

Matemática

(ITA - 2018 - 1 FASE)

Considere as funções f, g: $mathbb{R}$ → $mathbb{R}$ dadas por f(x) = ax + b e g(x) = cx + d, com a, b, c, d ∈ $mathbb{R}$ , a $\neq$ 0 e c $\neq$ 0. Se f^-1 o g^-1 = g^-1 o f^-1, então uma relação entre as constantes a, b, c e d é dada por

b + ad = d + bc.

d + ba = c + db.

a + db = b + cd.

b + ac = d + ba.

c + da = b + cd.

Gabarito:

b + ad = d + bc.

Resolução:

Efetuando f(x) = ax + b = y:

$x =^{frac{y-b}{a}}$

$f^{-1}$ $(x)$ = $frac{x-b}{a}$

Efetuando $g(x) = cx + d = t$ :

$x = frac{t-d}{e}$

$g^{-1}(x) = frac{x-d}{c}$

III

$f^{-1}$ o $g^{-1} (x) = f^{-1} [g^{-1}(x)] = f^{-1} [frac{x-d}{e}] = frac{^{frac{x-d}{c}-b}}{a} = frac{x -d - be}{ac}$

$g^{-1} (x)$ o $f^{-1} (x)$ = $g^{-1} [f^{-1}(x)] = g^{-1}[frac{x-b}{a}] =$

$frac{frac{x-b}{a}-d}{c} = frac{x - b - ad}{ac}$

Como $f^{-1}$ o $g^{-1}$ = $g^{-1}$ o $f^{-1}$ temos o resultado:

$frac{x-d-be}{ac} = frac{x-b-ad}{ae}$ $Leftrightarrow$ $b + ad = d + bc$

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