Questão 14

ITA 2016

Matemática

(ITA - 2016 - 1ª FASE)

Se a reta de equação x = a divide o quadrilátero cujos vértices são (0, 1), (2, 0), (4, 0) e (6, 4) em duas regiões de mesma área, então o valor de a é igual a

Gabarito:

Resolução:

Com base nas informações dadas no enunciado, conseguimos construir a seguinte figura:

Dessa forma, temos que a área do quadrilátero ABCD será igual à área do quadrilátero AOPB menos as áreas dos triângulos AOD e BCP. Dessa forma, temos:

$A_{ABCD} = A_{AOPB} - A_{AOD} - A_{BCP}$

$A_{ABCD} = frac{(1+4)cdot 6}{2} - frac{1cdot2}{2} - frac{4cdot2}{2}$

$A_{ABCD} = frac{30}{2} - frac{10}{2} = 10$

Para que a reta x = a, divida o quadrilátero em duas regiões de mesma área, devemos ter que $A_{AMND} = 5$ , portanto, $A_{AONM} = 6$ .

A equação da reta que liga os pontos A e B é $y = frac{x}{2} + 1$ , logo o ponto M será da forma $M = left ( a, frac{a+2}{2} ight )$ .

Usando a fórmula da área de trapézio, temos que $A_{AONM} = frac{acdot(a+4)}{4}$ , logo:

$6 = frac{acdot(a+4)}{4} Leftrightarrow a^2 + 4a - 24 = 0 Leftrightarrow a = -2pm 2sqrt{7}$

Como a precisa ser positivo, teremos que $a = -2 + 2sqrt{7}$

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