Questão 29

ITA 2016

Matemática

(ITA - 2016 - 2ª FASE)

Determine o termo constante do resto da divisão do polinômio $(1+x+x^2)^{40}$ por $(1+x)^3$

Gabarito:

Resolução:

Dados da questão:

$P(x)=(1 + x + x^2)^{40}$

$D(x)=(x+1)^{3}$

$R(x)= ?$

Fazendo $(1 + x + x^2)^{40} = [x (x + 1) + 1]^{40}$ , podemos usar o binômio de Newton:

$egin{pmatrix} 40\0 end{pmatrix} (x(x+1))^{40}+egin{pmatrix} 40\1 end{pmatrix} (x(x+1))^{39}egin{pmatrix} 40\2 end{pmatrix} (x(x+1))^{38}+...+$

$egin{pmatrix} 40\39 end{pmatrix} (x(x+1))+egin{pmatrix} 40\40 end{pmatrix}$

Dividindo o binômio de Newton por $(x+1)^3$ , temos:

$egin{pmatrix} 40\0 end{pmatrix} (x(x+1))^{37}+egin{pmatrix} 40\1 end{pmatrix} (x(x+1))^{36}egin{pmatrix} 40\2 end{pmatrix} (x(x+1))^{35}+...+$

$egin{pmatrix} 40\37 end{pmatrix} x+frac{egin{pmatrix} 40\38 end{pmatrix} (x(x+1))^{2}+egin{pmatrix} 40\39 end{pmatrix} (x(x+1))+egin{pmatrix} 40\40 end{pmatrix}}{(x+1)^3}$

O resto da divisão $frac{egin{pmatrix} 40\38 end{pmatrix} (x(x+1))^{2}+egin{pmatrix} 40\39 end{pmatrix} (x(x+1))+egin{pmatrix} 40\40 end{pmatrix}}{(x+1)^3}$ é igual ao resto da divisão P(x)/D(x).

$frac{780 (x(x+1))^{2}+ 40 (x(x+1))+1}{(x+1)^3}$

$frac{780 x^4+ 1560x^3+820x^2+40x+1}{x^3+3x^2+3x+1}$

Fazendo a divisão dos polinômios utilizando o método da chave, chegamos em:

Q(x) = 780x-780 e

R(x) = 820x²+1600x+781

Dessa forma, o termo constante do resto da divisão P(x)/D(x) é igual a 781.

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