Questão 26

ITA 2016

Matemática

(ITA - 2016 - 2ª FASE)

Sejam $S$ um subconjunto de $mathbb{R}^{2}$ e $P=(a, b)$ um ponto de $mathbb{R}^{2}$ . Define-se distância de $P$ a $S$ , $d(P,S)$ , como a menor das distâncias $d(P,Q)$ , com $Q in S$ :

$d(P,S)=min { d(P, Q) : Q in S}.$

Sejam $S_1={(x, y) in mathbb{R}^{2}:x=0;e;ygeq 2}$ e $S_2={(x, y) in mathbb{R}^{2}:y=0}$

a) Determine $d(p, S_1)$ quando $P=(1,4)$ e $d(Q, S_1)$ quando $Q=(-3,0)$

b) Determine o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes de $S_1$ e de $S_2$

Gabarito:

Resolução:

Considere a representação de S₁, S₂, P e Q no plano cartesiano abaixo:

Solução da letra a:

$d(P,S_1)$ é a distância de P até o eixo y.

$d(P,S_1)= 1$

$d(Q,S_1)$ é a distância de Q até o ponto (0,2).

$d(Q,S_1)= sqrt{(-3)^2+(2)^2}$

$d(Q,S_1)= sqrt13$

Solução da letra b

1) Para $x>2$ , os pontos equidistantes de S1 e S2 pertencem à reta $y=x$

2) Para $x<2$ , os pontos equidistantes de S1 e S2 pertencem à reta $y=-x$

3) Para $-2 < x < 2$ , devemos fazer:

$d_{A,S_2}=d_{A,S_1}$

$y=sqrt{x^2+(2-y)^2}$

$y^2=x^2+(2-y)^2$

$y^2=x^2+4-4y+y^2$

$4y=x^2+4$

$y=frac{x^2}{4}+1$

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