Questão 30

ITA 2016

Matemática

(ITA - 2016 - 2ª FASE)

Em um cone circular reto de altura 1 e raio da base 1 inscreve-se um tetraedro regular com uma de suas faces paralela à base do cone, e o vértice oposto coincidindo com o centro da base do cone. Determine o volume do tetraedro.

Gabarito:

Resolução:

1) Determinar a equação do volume do tetraedro em função de a.

$V=frac{1}{3}A_b.h_T$

A_b é a área da base do tetraedro, dada por:

$A_b=frac{a^2sqrt3}{4}$

h_T é a altura do tetraedro, dada por:

$h_T=frac{asqrt6}{3}$

O volume portanto será dado por:

$V=frac{1}{3}A_b.h_T$

$V=frac{1}{3}cdotfrac{a^2sqrt3}{4}cdot frac{asqrt6}{3}$

$V=frac{a^3sqrt2}{12}$

Usando semelhança de triângulos para $Delta VCG$ e $Delta VBD$ , temos:

$frac{R}{r}=frac{H}{h}$

$R=1 cm$ (i)

$r=frac{2}{3}h_t=frac{2}{3}cdot frac{asqrt3}{2}$

$r=frac{asqrt3}{3}$ (ii)

pois G é baricento do triângulo CEF. (h_t= altura do triângulo CEF)

$H=1 cm$ (iii)

$h=1-h_T$

$h=1-frac{asqrt6}{3}$ (iv)

Substituindo (i), (ii), (iii) e (iv) na proporção:

$frac{1}{frac{asqrt3}{3}}=frac{1}{1-frac{asqrt6}{3}}$

$frac{asqrt3}{3}=1-frac{asqrt6}{3}$

$asqrt3=3-asqrt6$

$asqrt3+asqrt6=3$

$a(sqrt3+sqrt6)=3$

$a=frac{3}{sqrt3+sqrt6}=sqrt6-sqrt3$

Retornando à equação do volume do tetraedro obtida no início da resolução, e substituindo o valor de a, obtemos:

$V=frac{a^3sqrt2}{12}$

$V=frac{(sqrt6-sqrt3)^3sqrt2}{12}$

$V=frac{10sqrt3-7sqrt6}{4}$

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