Questão 6

ITA 2016

Matemática

(ITA - 2016 - 1ª FASE)

Seja P_n um polígono convexo regular de n lados, com n ≥ 3. Considere as afirmações a seguir:

I. P_n é inscritível numa circunferência.

II. P_n é circunscritível a uma circunferência.

III. Se L_n é o comprimento de um lado de P_n e a_n é o comprimento de um apótema de P_n, então $frac{a_n}{L_n}leqslant 1$ para todo n ≥ 3.

É (são) verdadeira(s)

apenas I

apenas II

apenas III

apenas I e II

I, II e III

Gabarito:

apenas I e II

Resolução:

Afirmativa I - Os polígonos regulares são inscritíveis, portanto, a afirmativa é verdadeira.

Afirmativa II - Os polígonos regulares são circunscritíveis, portanto, a afirmativa é verdadeira.

Afirmativa III - Analisando a figura da seleção feita a partir de um polígono regular de apótema $a_{n}$ , n lados e medida de lado $l_{n}$ :

$tg(frac{alpha }{2}) = frac{frac{l_{n}}{2}}{alpha _{n}}$

$frac{l_{n}}{2alpha _{n}} = tg(frac{alpha }{2})$

$frac{a_{n}}{l_{n}} = frac{1}{2.tg(frac{alpha }{2})}$

Como o valor da tg do arco $frac{alpha }{2}$ pode ser menor que $frac{1 }{2}$ , a razão para um polígono com grande número de lados terá razão maior que 1.

Afirmativa falsa.

Gabarito: d)

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