Questão 24

ITA 2016

Matemática

(ITA - 2016 - 2ª FASE)

Seja A a matriz de ordem 3 x 2, dada por

$A=egin{bmatrix} 1 & 0\ 0&1 \ 1 & 1 end{bmatrix}$

a) Determine todas as matrizes B tais que BA = I₂

b) Existe uma matriz B com BA=I₂ que satisfaça BB^T = I₂? Se sim, dê um exemplo de uma dessas matrizes.

Gabarito:

Resolução:

a) B.A = I₂

Para que a multiplicação de uma matriz B pela matriz A_3x2resulte em uma matriz identidade I_2x2,B deverá ser do tipo B_2x3.

Portanto, a matriz B_3x2 que multiplicada por A resulta na matriz independente I₂ é:

$B=egin{bmatrix} 1-c & -c & c\ -f& 1-f & f end{bmatrix};$ qualquer que seja c e f.

b) Sendo:

$B=egin{bmatrix} 1-c & -c & c\ -f& 1-f & f end{bmatrix};$ e $B^T=egin{bmatrix} 1-c & -f \ -c& 1-f \ c & f end{bmatrix};$

$Bcdot B^T=egin{bmatrix} 1-c & -c & c\ -f& 1-f & f end{bmatrix}cdot egin{bmatrix} 1-c & -f \ -c& 1-f \ c & f end{bmatrix}= egin{bmatrix} 1 & 0\ 0 & 1 end{bmatrix}$

Efetuando a multiplicação, chega-se em:

$egin{bmatrix} (1-c)^2+(-c)^2+c^2 & (1-c)(-f)+(1-f)(-c)+cf\ -f(1-c)+(1-f)(-c)+ cf & (-f)^2+(1-f)^2+f^2end{bmatrix}= egin{bmatrix} 1 & 0\ 0 & 1 end{bmatrix}$

Igualando o 1º termos das duas matrizes, temos:

$(1-c)^2+(-c)^2+c^2=1$

$c^2-2c+1+c^2+c^2=1$

$3c^2-2c=0$

$c(3c-2)=0$

$c=0$ ou $c=frac{2}{3}$

Assim, chegamos à conclusão que esses dois valores para c satisfazem as condições iniciais do problema.

Substituindo, por exemplo, c=0 nos outros termos da matriz e respeitando a igualdade, encontramos f=0.

Sendo, c=0 e f=0, temos a seguir B como exemplo de matriz que satisfaz B.B^T=I₂:

$B=egin{bmatrix} 1-c & -c & c\ -f& 1-f & f end{bmatrix}=egin{bmatrix} 1 &0 & 0\ 0 & 1 & 0 end{bmatrix}$

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