Questão 22

ITA 2016

Matemática

(ITA - 2016 - 2ª FASE)

Sejam x e y pertencentes ao intervalo $[0, pi]$ . Determine todos os pares ordenados (x,y) tais que

$left{egin{matrix} sqrt{2} cos x - sin y = frac{1}{2} & \ sqrt{2} sin x + sqrt{3} cos y = -frac{1}{2} & end{matrix} ight.$

Gabarito:

Resolução:

$left{egin{matrix} sqrt{2} cos x - sin y = frac{1}{2} & \ sqrt{2} sin x + sqrt{3} cos y = -frac{1}{2} & end{matrix} ight.$

Método utilizado: Isolar $sqrt2 cosx$ e $sqrt2 senx$ nas duas equações, elevar ao quadrado e somar.

Equação 1:

$sqrt2 cosx=frac{1}{2}+seny$

$(sqrt2 cosx)^2=(frac{1}{2}+seny)^2$

$2 cos^2x=frac{1}{4}+seny+sen^2y$

Equação 2:

$sqrt2 senx=-frac{1}{2}-sqrt3 cosy$

$(sqrt2 senx)^2=(-frac{1}{2}+sqrt cosy)^2$

$2 sen^2x=frac{1}{4}+sqrt3 cosy+3cos^2y$

Somando as duas equações, teremos:

$2(sen^2x+cos^2x)=frac{1}{4}+seny+sen^2y +frac{1}{4}+sqrt3 cosy+3cos^2y$

Fazendo $sen^2x+cos^2x=1$ e $sen^2y=1-cos^2x$

$2=3cos^2y+(1-cos^2y)+seny+sqrt3 cosy+frac{1}{2}$

$frac{1}{2}=2cos^2y+seny+sqrt3 cosy$

Fazendo $sen^2x+cos^2x=1$ no primeiro membro:

$frac{sen^2x+cos^2x}{2}=2cos^2y+seny+sqrt3 cosy$

$sen^2x+cos^2x=4cos^2y+2seny+2sqrt3 cosy$

$3cos^2y-sen^2x+2seny+2sqrt3 cosy=0$

$(sqrt3cosy+seny)(sqrt3cosy-seny)+2seny+2sqrt3 cosy=0$

$(sqrt3cosy+seny)(sqrt3cosy-seny)+2(seny+sqrt3 cosy)=0$

$(sqrt3cosy+seny)(sqrt3cosy-seny+2)=0$ (i)

Sendo a equação (i) uma equação-produto igual a zero, podemos zerar os fatores para encontrar as raízes.

Zerar FATOR 1:

$sqrt3cosy+seny=0$ (dividir por 2)

$frac{sqrt3}{2}cosy+frac{1}{2}seny=0$

$sen(a+b)=sen(a)cos(b)+sen(b)cos(a)$

$left{egin{matrix} sen(a)=sen(y)\ cos(b)=frac{1}{2} \ sen(b)=frac{sqrt3 }{2}\ cos(a)=cosy end{matrix} ight.$

$a=y$ e $b=frac{pi}{3}$

$sen(y+frac{pi}{3})=sen(y)cos(frac{pi}{3})+sen(frac{pi}{3})cos(y)$

$sen(y+frac{pi}{3})=0$

Os ângulos que tem seno igual a zero são iguais a $k pi, kin mathbb Z$ .

Sendo assim:

$y+frac{pi}{3}=kpi$

$y=kpi-frac{pi}{3}$

Para que y pertença ao 1º quadrante, k tem que ser igual a 1.

$y=frac{2pi}{3}$

Agora basta substituir o y no sistema para calcular x:

$sqrt2 cosx=frac{1}{2}+senfrac{2pi}{3}$

$sqrt2 cosx=frac{1}{2}+frac{sqrt3}{2}$

$cosx=frac{sqrt2}{4}+frac{sqrt6}{4}$

$cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sen(a)sen(b)$

$left{egin{matrix} cos(a)=frac{1}{2}\ cos(b)=frac{sqrt2}{2} \ sen(a)=frac{sqrt3}{2} \ sen(b)=frac{sqrt2}{2} end{matrix} ight.$

$a= frac{pi}{3}$ e $b=frac{pi}{4}$

$cosx=cos(a-b)$

$cosx=cos(frac{pi}{3}-frac{pi}{4})$

$cosx=cosfrac{pi}{12}$

$x=frac{pi}{12}$

$S_1={(frac{pi}{12},frac{2pi}{3})}$

Zerar FATOR 2:

$sqrt3cosy-seny+2=0$

$sqrt3cosy-seny=-2$

$seny-sqrt3cosy=2$

$frac{1}{2}seny-frac{sqrt3}{2}cosy=1$

$sen(a-b)=sen(a)cos(b)-sen(b)cos(a)$

$left{egin{matrix} sen(a)=seny\ cos(b)=frac{1}{2} \ sen(b)=frac{sqrt3}{2} \ cos(a)=cosy end{matrix} ight.$

$a=y$ e $b=frac{pi}{3}$

$sen(y-frac{pi}{3})=1$

$y-frac{pi}{3}=frac{pi}{2}$

$y=frac{5pi}{6}$

Agora, substituindo o valor de y no sistema:

$sqrt2 cosx=frac{1}{2}+senfrac{5pi}{6}$

$sqrt2 cosx=frac{1}{2}+frac{1}{2}$

$cosx=frac{1}{sqrt2}$

$cosx=frac{sqrt2}{2}$

$x=frac{pi}{4}$

$S_2={(frac{pi}{4},frac{5pi}{6})}$

Resposta: $S = left { (frac{pi}{12},frac{2pi}{3}), (frac{pi}{4},frac{5pi}{6}) ight }$

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