Questão 6201

ITA 1999

Matemática

(ITA - 1999) Considere as funções f e g definidas por $f(x) =x -frac{2}{x}$ , para x ≠ 0 e $g(x) = frac{x}{x+1}$ , para x ≠ -1. O conjunto de todas as soluções da inequação

é:

Gabarito:

Resolução:

$\f(x)=x-frac{2}{x}=frac{x^2-2}{x}\\g(x)=frac{x}{x+1}$

Composição de g(x) com f(x):

$g(f(x))=frac{f(x)}{f(x)+1}=frac{frac{x^2-2}{x}}{frac{x^2-2}{x}+1}=frac{frac{x^2-2}{x}}{frac{x^2-2+x}{x}}=frac{x^2-2}{x^2+x-2}$

Inequação:

$frac{x^2-2}{x^2+x-2}<frac{x}{x+1}Rightarrow frac{x^2-2}{(x-1)(x+2)}<frac{x}{x+1};;Rightarrow frac{x^2-2}{(x-1)(x+2)}-frac{x}{x+1}<0Rightarrow frac{(x^2-2)(x+1)-x(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+2)(x+1)}<0Rightarrow frac{x^3+x^2-2x-2-x^3-x^2+2x}{(x+1)(x-1)(x+2)}<0Rightarrow frac{-2}{(x+1)(x-1)(x+2)}<0$

Raízes de (x+1(x-1)(x+2): -2, -1 e 1

Agora, colocaremos esses valores numa reta e, arbitrariamente, chutaremos um valor maior que a maior raiz, vamos escolher o número 10 e verificaremos se a expressão é positiva ou negativa quando x = 10:

$\ frac{-2}{(10+1)(10-1)(10+2)}mathbf{<}0$ , ou seja, a expressão é NEGATIVA para x = 10

1 é raiz de MULTIPLICIDADE ímpar, assim como (-1) e (-2), então a expressão inverte o sinal entre ]-1,1[, ou seja, admitirá valor positivo, e assim sucessivamente:

Portanto, a solução é: ]-2, -1[ U ]1, +oo[

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